絶対に支払ってはダメです。
やることやってないですし、請求の意味がわかりません。

契約書に記載のタイミングでなければ払う必要ないです。従業員のケアをこちらに求めるのもおかしいです。

全く意味の分からない請求です。
払ってはダメです！

金額から想定しますが、こちらは住宅ですか？施設ですか？
一方的なお話しで無責任な判断はしかねますが、今までの経緯、契約内容、設計期間やQYさんが出された要望など精査志那ければいけません。予算がかなりオーバーするのは建築士が予算を無視した設計なのか、ご要望通り設計してのオーバーなのかにもよります。請求されるのも何か意味があるわけですし、それでも不服な請求でしたらお住まいの都道府県の建築士事務所協会さんや建築士会にご相談され、第三者に仲介していただく事がいいかもしれません。
建築士さんとの関係や、これから引き続き進める意思があるかにもよります。
ご参考になれば。

5000万オーバーなら調整能力無しつて事になります。継続しない方が大切です。